Números inteiros

Os números inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais e são representados por Z, que inclui os números naturais, seus opostos (negativos) e o zero:

Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

Eles são usados para representar quantidades inteiras positivas e negativas, como temperatura, saldo bancário, elevações, entre outros.

1. Propriedades dos Números Inteiros

Os números inteiros seguem diversas propriedades matemáticas fundamentais:

1.1. Fechamento

O conjunto dos números inteiros é fechado para as operações de adição, subtração e multiplicação, ou seja, o resultado dessas operações sempre será um número inteiro.

• a+b ∈ Z

• a−b ∈ Z

• a×b ∈ Z

Porém, os inteiros não são fechados para a divisão. Exemplo:

• 5÷2=2,55 (que não é um número inteiro).

1.2. Propriedade Comutativa

A ordem dos elementos não altera o resultado para adição e multiplicação:

• a+b=b+a

• a×b=b×a

Exemplo:

• 3+(−5) = −5+3

• 4×(−2) = (−2)×4

Para a subtração e divisão, essa propriedade não se aplica:

• 5−2≠2−5

• 6÷3≠3÷6

1.3. Propriedade Associativa

A forma de agrupar os números não altera o resultado para adição e multiplicação:

• (a+b)+c = a+(b+c)

• (a×b)×c = a×(b×c)

Exemplo:

• (−2+3)+5=−2+(3+5)

Já para subtração e divisão, essa propriedade não se aplica:

• (8−5)−2≠8−(5−2)

• (12÷4)÷2≠12÷(4÷2)

1.4. Propriedade Distributiva

A multiplicação pode ser distribuída sobre a adição ou subtração:

a×(b+c) = a×b+a×c

Exemplo:

3×(4+2) = 3×4+3×2

3×6 = 12+6

18 = 18

1.5. Elemento Neutro

O elemento neutro é aquele que, quando aplicado a uma operação, não altera o valor do número:

• Na adição, o zero é o elemento neutro: a+0 = a

• Na multiplicação, o um é o elemento neutro: a×1 = a

1.6. Elemento Oposto (Inverso Aditivo)

Para todo número inteiro a, existe um número oposto -a tal que:

a+(−a) = 0

Exemplo:

5+(−5) = 0

Já na multiplicação, o inverso multiplicativo só existe para ±1, pois os inteiros não possuem frações.

2. Operações com Números Inteiros

2.1. Adição

• Sinais iguais: soma e mantém o sinal. (−3)+(−5) = −8

• Sinais diferentes: subtrai e mantém o sinal do maior número em módulo. (−6)+9=3

2.2. Subtração

Transformamos a subtração em soma do oposto:

a−b=a+(−b)

Exemplo:

5−(−3)=5+3=8

2.3. Multiplicação

Regras de sinais:

• (+)×(+)=+

• (−)×(−)=+

• (+)×(−)=−

• (−)×(+)=−

Exemplos:

(−4)×(−3) = 12

(−2)×5 = −10

2.4. Divisão

Segue a mesma regra de sinais da multiplicação:

• (+)÷(+)=+

• (−)÷(−)=+

• (+)÷(−)=−   

• (−)÷(+)=−

Exemplo:

(−10)÷2 = −5

Atenção: A divisão entre inteiros pode não resultar em um número inteiro, como:

7÷2 = 3,57

3. Comparação de Números Inteiros

Os números inteiros podem ser comparados utilizando a reta numérica:

• Quanto mais à direita, maior o número.

• Quanto mais à esquerda, menor o número.

Exemplos:

−4 < −2,5 > −3,0 > −7

4. Valor Absoluto

O valor absoluto de um número inteiro é sua distância até o zero na reta numérica, sendo sempre positivo.

∣a∣ = módulo de a

Exemplo:

∣−5∣=5                                                        |7| = 7

5. Radiciação

A radiciação depende do índice da raiz:

• Raízes de índice par não existem para números inteiros negativos.

√ -4 (Não pertence a Z)

• Raízes de índice ímpar são sempre números inteiros.

∛ -8 =-2