Estrutura dos Poliedros

• Vértices (V): Pontos de encontro entre três ou mais arestas.

• Arestas (A): Segmentos de reta que unem dois vértices.

• Faces (F): Superfícies planas limitadas por arestas.

• Classificação:

  • Convexos: Quando qualquer linha traçada entre dois pontos dentro do poliedro não sai da figura.

  • Côncavos: Quando existe pelo menos uma linha traçada entre dois pontos dentro do poliedro que sai da figura.

Fórmula de Euler

A fórmula de Euler é utilizada para relacionar o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo:

V−A+F=2

Onde:

• V é o número de vértices;

• A é o número de arestas;

• F é o número de faces.

Tipos de Poliedros

1. Poliedros regulares: Todos os lados e ângulos são iguais. Exemplo: Cubo, Tetraedro.

2. Prismas: Bases poligonais paralelas e faces laterais retangulares.

3. Pirâmides: Base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um único vértice.

Quando Utilizar Poliedros

• Geometria Sólida: Para representar sólidos em três dimensões.

• Arquitetura e Engenharia: Modelagem de formas estruturais.

• Computação Gráfica e Arte 3D: Poliedros são a base de muitos modelos digitais.

• Química e Cristalografia: Estruturas moleculares podem ser representadas por poliedros.

Exemplos

1. Cubo:

   • Tem 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices.

   • Um exemplo de poliedro regular.

2. Tetraedro:

   • Possui 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.

   • Também um poliedro regular.

3. Prisma hexagonal:

   • Possui 8 faces, sendo 2 hexagonais e 6 retangulares, 12 vértices e 18 arestas.

Respostas

Definição e classificação
a) Um poliedro é uma figura geométrica tridimensional formada por faces planas poligonais. As faces se encontram em arestas, que, por sua vez, se encontram em vértices.
b) Os poliedros podem ser classificados com base no tipo de suas faces:

• Prismas: têm duas bases paralelas e congruentes, com faces laterais retangulares. Exemplo: prisma triangular.

• Pirâmides: têm uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um único vértice. Exemplo: pirâmide quadrangular.

• Poliedros regulares: todos os seus lados, ângulos e faces são congruentes. Exemplo: cubo.

Elementos dos poliedros
a) Os elementos básicos de um poliedro são:

• Faces: as superfícies planas que formam o poliedro.

• Arestas: os segmentos de reta onde duas faces se encontram.

• Vértices: os pontos onde três ou mais arestas se encontram.
  b) Para resolver a quantidade de faces, usamos a relação de Euler para poliedros convexos:

V−A+F=2 

Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

Sabemos que V=8 e A=12. Substituindo: 

8−12+F=2⟹F=6 

Portanto, o poliedro tem 6 faces. 

Poliedros convexos e côncavos
a) Um poliedro convexo é aquele em que qualquer linha traçada entre dois pontos do poliedro está inteiramente contida no seu interior. Um poliedro côncavo tem reentrâncias, ou seja, parte de suas faces "entram" para dentro da figura, formando ângulos internos maiores que 180°.
b) Exemplo de poliedro convexo: cubo. Exemplo de poliedro côncavo: estrela octogonal tridimensional.

Poliedros regulares
a) Um poliedro regular é aquele em que todas as suas faces são polígonos regulares congruentes, e os ângulos formados entre as faces são iguais.
b) Existem 5 tipos de poliedros regulares, conhecidos como poliedros de Platão:

• Tetraedro (4 faces triangulares)

• Cubo ou Hexaedro (6 faces quadradas)

• Octaedro (8 faces triangulares)

• Dodecaedro (12 faces pentagonais)

• Icosaedro (20 faces triangulares)

Cálculo de áreas e volumes
a) A área total de um cubo é dada por:
A=6a²

Onde a é a medida da aresta do cubo. Para a=5 cm: 

A=6×52=6×25=150cm²

b) O volume de uma pirâmide quadrangular regular é dado por: 

V=1/3​×Abase​×h 

V=1/3 ​× 36 × 10=120cm³

Prismas e pirâmides
a) Um prisma tem duas bases paralelas e congruentes com faces laterais retangulares. Já a pirâmide tem apenas uma base, e suas faces laterais são triangulares, convergindo em um único vértice.
b) Um prisma triangular regular tem:

• Faces: 5 (2 bases triangulares e 3 faces laterais retangulares)

• Arestas: 9 (3 em cada base e 3 ligando os vértices das duas bases)

• Vértices: 6 (3 em cada base)

Poliedros de Platão
a) Os poliedros de Platão são os cinco poliedros convexos regulares mencionados anteriormente (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro).
b) A característica comum entre todos os poliedros de Platão é que os ângulos entre as faces são sempre iguais, ou seja, eles possuem simetria angular.